Question

已知{a_n}是公比大于1的等比數列，它的前3項和S₃=7，且a₁+3、3a₂、a₃+4構成等差數列．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）令bn=

5	(log2a2n)•(log2a2(n+1))

，數列{b_n}的前n項是T_n，若對于任意正整數n，都有T_n＜m（m∈Z）成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（I）由a₁+3、3a₂、a₃+4構成等差數列，得到（a₁+3）+（a₃+4）=2（3a₂），又S₃=7，得到前三項之和等于7，兩者聯(lián)立即可求出第2項的值，然后設出等比數列的公比為q，利用等比數列的性質利用第2項表示出首項和第3項，代入S₃=7中列出關于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，根據q大于1，得到滿足題意q的值，然后根據q的值求出等比數列的首項，利用首項和q寫出數列{a_n}的通項公式即可；
（II）利用（I）求出的數列{a_n}的通項公式，求出a_2n和a_2（n+1），代入bn=

5

(log2a2n)•(log2a2(n+1))

中化簡后，得到b_n的通項公式，根據通項公式列舉出數列的各項，抵消化簡后得到T_n的通項公式，根據n取正整數得到T_n的最大值，即可得到使T_n＜m成立的整數m的最小值．

解答：解：（I）由已知得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，解得a₂=2，
設數列{a_n}的公比為q，由a₂=2，可得a1=

2

q

，a3=2q，
又S₃=7，可知2q²-5q+2=0，解得q1=2，q2=

1

2

，
由題意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1，故數列{a_n}的通項為a_n=2^n-1；
（II）由于bn=

5

(log222n-1)(log222n+1)

=

5

(2n-1)(2n+1)

=

5

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，Tn=

5

2

(

1

1

-

1

3

)+

5

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

5

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

5n

2n+1

，
∵

5n

2n+1

=

n+ 1 2 - 1 2

2n+1

=

5

2

-

5

4n+2

＜

5

2

，
∴使T_n＜m成立的整數m的最小值是3．

點評：此題考查學生掌握等比數列的性質，靈活運用等比數列的通項公式化簡求值，會進行數列的求和，是一道綜合題．