Question

（文）一個多面體的三視圖（正前方垂直于平面AA₁B₁B）及直觀圖如圖（一）所示，（如圖二）M、N分別是A₁B、B₁C₁的中點．
（1）計算多面體的體積；
（2）求證MN∥平面AA₁C₁C；
（3）若O是AB的中點，求證AM⊥平面A₁OC．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三視圖，我們易得到這是一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，且底面直角邊和棱柱高均為a，代入棱柱體積公式，即可得到答案．
（2）連AB₁，AC₁，由矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理，易得MN∥AC₁，再由線面平行的判定定理，即可得到MN∥平面AA₁C₁C；
（3）若O是AB的中點，根據(jù)已知易得∠AA₁B₁=∠AOA₁，即AB₁⊥A₁O，再結(jié)合直三棱柱側(cè)面與底面垂直，我們結(jié)合CO⊥AB，及面面垂直的性質(zhì)可得OC⊥平面AA₁B₁B，進而得到AB₁⊥OC，再由線面垂直的判定定理可得AB₁⊥平面A₁OC，即AM⊥平面A₁OC．

解答：解：（1）如圖可知，在這個多面體的直觀圖中，
AA₁⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB=AC=CC₁=a，
所以V=

1

2

a2•a=

1

2

a3；
（2）連AB₁，AC₁，由矩形性質(zhì)得：AB₁與A₁B交于點M，
在△AB₁C₁中，由中位線性質(zhì)得MN∥AC₁，
又因為MN?平面AA₁C₁C，
所以MN∥平面AA₁C₁C；
（3）在矩形AA₁B₁B中，tan∠AA₁B₁=

2

，tan∠AOA₁=

2

，
所以∠AA₁B₁=∠AOA₁，
所以AB₁⊥A₁O，
又因為平面ABC⊥平面AA₁B₁B，CO⊥AB，
所以O(shè)C⊥平面AA₁B₁B，
所以O(shè)C⊥AB₁，即AB₁⊥OC，又A₁O∩OC=O，
所以AB₁⊥平面A₁OC，
即AM⊥平面A₁OC．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平等的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理，性質(zhì)定理、定義及幾何特征，建立良好的空間想像能力是解答本題的關(guān)鍵．