Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上一動(dòng)點(diǎn)P，拋物線內(nèi)一點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)為焦點(diǎn)且|PA|+|PF|的最小值為

7

2

．
（1）求拋物線的方程以及使得|PA|+|PF|取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)（1）中的P點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點(diǎn)，直線CD是否過(guò)一定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+

p

2

=

7

2

，由此能求出拋物線方程和P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)C(

y12

2

，y1)，D(

y22

2

，y2)，則直線CD的方程為y=

2

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，由PC⊥PD，得y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），代入直線CD，得y+2=

2

y1+y2

(x-4)，由此知直線CD過(guò)定點(diǎn)（4，-2）．

解答：解：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+

p

2

=

7

2

，
∴p=1，
∴拋物線方程為：y²=2x，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
（2）設(shè)C(

y12

2

，y1)，D(

y22

2

，y2)，
則直線CD的方程為：y-y2=

2

y1+y2

(x-

y22

2

)，
即：y=

2

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∵PC⊥PD，∴

4

(y2+2)(y1+2)

=-1，
∴y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），
代入直線CD，得y=

2

y1+y2

x-

8

y1+y2

-2，
即：y+2=

2

y1+y2

(x-4)，
∴直線CD過(guò)定點(diǎn)（4，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．