Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，如圖，B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿(mǎn)足：|

OA

|，|

OB

|，|

OF

|成等比數(shù)列，過(guò)F作雙曲線(xiàn)C在第一、三象限的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)l，垂足為P
（1）求證：

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）若l與雙曲線(xiàn)C的左右兩支分別相交于點(diǎn)E、D，求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)雙曲線(xiàn)方程求出漸近線(xiàn)方程，得到直線(xiàn)的斜率，求出P的坐標(biāo)，利用等差數(shù)列推出

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）利用l與雙曲線(xiàn)C的左右兩支分別相交于點(diǎn)E、D，聯(lián)立方程組，通過(guò)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積小于0，推出雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍．

解答：解：（1）證明：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為 y=±

b

a

x，F(xiàn)(c，0)，
∵過(guò)F作雙曲線(xiàn)C在第一、三象限的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)l，
∴直線(xiàn)l的斜率為：-

a

b

，∴直線(xiàn)l：y=-

a

b

(x-c)，
由

y=- a b (x-c) y= b a x

，可得P（

a2

c

，

ab

c

），
∵|

OA

|，|

OB

|，|

OF

|成等比數(shù)列，
所以xA•c=b2∴xA=

b2

c

，A(

a2

c

，0)，

PA

=(0，-

ab

c

)，

OP

=(

a2

c

，

ab

c

)，

FP

=(-

b2

c

，

ab

c

)，
所以

PA

•

OP

=-

a2b2

c2

，

PA

•

FP

=-

a2b2

c2

，
則

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）解：

y=- a b (x-c) b2x2-a2y2=a2b2

，
得(b2-

a4

b2

)x2+2

a4

b2

x-(

a4c2

b2

+a2b2)=0，
∵x₁x₂＜0，∴

-( a4c2 b2 +a2b2)

b2- a4 b2

＜0，
∴b²＞a²，則c²＞2a²，
∴e²＞2，
∴e＞

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．