已知雙曲線C：
x2
4
-y2=1．
（Ⅰ）求曲線C的焦點；
（Ⅱ）求與曲線C有共同漸近線且過點（2，
5
）的雙曲線方程．
分析：（Ⅰ）由方程可得a2=4，b2=1，進(jìn)而可得c=
5
，結(jié)合焦點的位置可得其坐標(biāo)；（Ⅱ）可設(shè)所求的雙曲線方程為
x2
4
-y2=λ，又過點(2，
5
)，代入可得λ，即可得方程．
解答：解：（Ⅰ）∵a2=4，b2=1，∴c2=a2+b2=5，得c=
5
，
∴焦點F1(-
5
，0)，F2(
5
，0)；
（Ⅱ）可設(shè)所求的雙曲線方程為
x2
4
-y2=λ，又過點(2，
5
)，
得λ=
22
4
-(
5
)2=-4，
故雙曲線方程為
x2
4
-y2=-4，即
y2
4
-
x2
16
=1．
點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，涉及雙曲線的方程的求解，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x24
-y2=1，P為C上的任意點．
（1）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為（3，0），求|PA|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
4
-
y2
5
=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于兩點A、B，若|AB|=5，則滿足條件的l的條數(shù)為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•西城區(qū)一模）已知雙曲線C：
x2
4
-y2=1，以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為
（x-
5
）2+y2=4，
（x-
5
）2+y2=4，
，若動點A，B分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且|AB|=2，則線段AB中點的軌跡方程為
16x2+y2=4
16x2+y2=4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南京二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：
x2
4
-
y2
3
=1．設(shè)過點M（0，1）的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，若
AM
=2
MB
，則直線l的斜率為
±
1
2
±
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
4
-y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點．
（Ⅰ）求與C有共同漸近線且過點（2，
5
）的雙曲線方程；
（Ⅱ）設(shè)P是雙曲線C上一點，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積．

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