Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率，且過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如果直線(xiàn)x=t（t∈R）與橢圓相交于A、B，若，，求證：直線(xiàn)EA與直線(xiàn)BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線(xiàn)上；
（3）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及參數(shù)a、b、c的關(guān)系即可得出；
（2）利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)上滿(mǎn)足的條件及雙曲線(xiàn)的意義即可證明；
（3）把直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系并利用已知條件即可得出．
解答：解：（1）依題意有：，又a²=c²+1，
解得：a=2，c=1，
故橢圓C的方程為：．
（2）依題意可設(shè)A（t，y），B（t，-y），K（x，y）．且有，
又，，
∴，由得：
代入即得，即為：，
所以直線(xiàn)EA與直線(xiàn)BD的交點(diǎn)K必在雙曲線(xiàn)上．
（3）（A）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，不滿(mǎn)足要求；
（B）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)設(shè)為k，則直線(xiàn)l為：y=k（x+1），代入得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由得：，
即：；
則：；
解得：k²=1⇒k=±1；
直線(xiàn)l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，故恒有兩個(gè)交點(diǎn)，則k=±1滿(mǎn)足要求，
故直線(xiàn)l的方程為：y=x+1或y=-x-1．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的定義及性質(zhì)、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)上滿(mǎn)足的條件、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題的解法、根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．