Question

已知圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且離心率為；

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由知圓錐曲線為雙曲線，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，從而得，即雙曲線的方程是；（Ⅱ）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再將直線與曲線方程聯(lián)立，知方程應(yīng)有兩個(gè)根.再由二次項(xiàng)的系數(shù)、根的判別式、以及這兩根應(yīng)為負(fù)根，即兩根之和小于0，兩根之積大于0.從而得到的取值范圍；（Ⅲ）由結(jié)合上問(wèn)的取值范圍從而得到，然后由通過(guò)向量的坐標(biāo)表示得到點(diǎn)，代入曲線的方程即可.

試題解析：（Ⅰ）由知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，

故雙曲線的方程是．                        (3分)

（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程組：，

從而有：為所求.          (8分)

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040704092412996079/SYS201404070409588643536821_DA.files/image020.png">，

整理得或，

注意到，所以，故直線的方程為.  (10分)

設(shè)，由已知，

又，所以．

在曲線上，得，

但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，

所以為所求．                         (13分)

考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.一元二次方程根的分布；3.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.