Question

如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA上的點，請回答下列問題：
（1）滿足什么條件時，四邊形EFGH為平行四邊形？
（2）滿足什么條件時，四邊形EFGH為矩形？
（3）滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？

Answer 1

分析：（1）E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點，說明四邊形EFGH為平行四邊形，利用類比推理相似比判斷得到結果；
（2）E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點且BD⊥AC，判定四邊形EFGH為矩形；
（3）E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點且BD⊥AC，AC=BD，判定四邊形EFGH為正方形．

解答：解：（1）當E，F(xiàn)，G，H滿足

BE

BA

=

BF

BC

=

DH

DA

=

DG

DC

時，四邊形EFGH為平行四邊形，
不妨以E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點，證明如下：
∵E，H分別是AB，AD的中點，
∴EH

∥

.

1

2

BD，同理，F(xiàn)G

∥

.

1

2

BD．
從而EH綊FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）當E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點且BD⊥AC時，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四邊形EFGH為矩形．
（3）當E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點且BD⊥AC，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四邊形EFGH為矩形，AC=BD時
EF=FG，四邊形EFGH為正方形．

點評：本題考查棱錐的結構特征及其性質，考查基本知識掌握情況，是基礎題．