Question

有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，現(xiàn)在要把球全部放入盒內(nèi)．
（1）共有多少種放法？（用數(shù)字作答）
（2）恰有一個(gè)盒不放球，有多少種放法？（用數(shù)字作答）
（3）恰有兩個(gè)盒不放球，有多少種方法？（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：（1）每個(gè)球都有4種方法，故根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可求
（2）由題意知需要先選兩個(gè)元素作為一組再排列，恰有一個(gè)盒子中有2個(gè)小球，從4個(gè)小球中選兩個(gè)作為一個(gè)元素，同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（3）四個(gè)不同的球全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來(lái)求解，先把四個(gè)球分為兩組，再取兩個(gè)盒子，作全排列，由于四個(gè)球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類來(lái)求解，再求出它們的和，然后選出正確選項(xiàng)

解答：解：（1）每個(gè)球都有4種方法，故有4×4×4×4=256種 
（2）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，說(shuō)明恰有一個(gè)盒子中有2個(gè)小球，
從4個(gè)小球中選兩個(gè)作為一個(gè)元素，同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，故共有C₄²A₄³=144種不同的放法．
 （3）四個(gè)球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）
若兩組每組有兩個(gè)球，不同的分法有

C 2 4

A 2 2

=3種，恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是3×A₄²=36種
若兩組一組為3，一組為1個(gè)球，不同分法有C₄³=4種恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是4×A₄²=48種
綜上恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是36+48=84種

點(diǎn)評(píng)：本題考查察排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，解題的過(guò)程中注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列．理解事件“四個(gè)不同的球全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰有兩個(gè)盒子不放球”，宜先將四個(gè)球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數(shù)．