Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

3

n（n+1）（n+2），試求數(shù)列{

1

an

}的前n項和．

Answer 1

分析：由數(shù)列的前n項和求出數(shù)列的通項，然后利用列項相消法求數(shù)列{

1

an

}的前n項和．

解答：解：由S_n=

1

3

n（n+1）（n+2），
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2．
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

3

n(n+1)(n+2)-

1

3

(n-1)n(n+1)=n（n+1）．
當(dāng)n=1時上式成立，所以a_n=n（n+1）．
則數(shù)列{

1

an

}的前n項和為：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是基礎(chǔ)題．