Question

有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計(jì)）.有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作如下設(shè)計(jì)：在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形，剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的高是小正方形的邊長(zhǎng).

（1）請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體容器的最大容積V₁；

（2）請(qǐng)你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種新方案，使材料浪費(fèi)最少，且所得長(zhǎng)方體容器的容積V₂＞V₁.

Answer 1

解：（1）設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4-2x，高為x，

∴V₁=（4-2x）²x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）.                               

V′₁=4（3x²-8x+4）=12(x-)(x-2).                                        

當(dāng)0＜x＜時(shí)，V′₁＞0；當(dāng)＜x＜2時(shí)，V′₁＜0.                              

∴當(dāng)x=時(shí)，V₁取最大值.                                           

（2）重新設(shè)計(jì)方案如下：

如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長(zhǎng)方體容器．

新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞V₁.故第二種方案符合要求．