Question

二次函數(shù)y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，且x₁＜2，x₂＞2，如圖所示，則a的取值范圍是（　�。�

• A．a(chǎn)＜1或a＞5
• B．a(chǎn)＜

  1

  2

• C．a(chǎn)＜-

  1

  2

  或a＞5
• D．-

  1

  2

  ＜a＜1

Answer 1

分析：解法一：由已知中函數(shù)的圖象，可得f（2），進(jìn)而由函數(shù)y=x²+（a-3）x+1，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范圍；
解法二：由已知中二次函數(shù)y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，且x₁＜2，x₂＞2，可得對(duì)應(yīng)方程x²+（a-3）x+1=0的兩根為x₁、x₂．且x₁＜2，x₂＞2，進(jìn)而可結(jié)合一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系及韋達(dá)定理構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可求出a的取值范圍；

解答：解法一：由題意可得f（2）＜0，
即4+（a-3）×2+1＜0，
解得a＜

1

2

．
解法二：由題意知方程x²+（a-3）x+1=0的兩根為x₁、x₂．
∴

△＞0 (x1-2)(x2-2)＜0.

∴

△＞0 x1x2-2(x1+x2)+4＜0

即

a2-6a+5＞0 1-2•[-(a-3)]+4＜0.

解得a＜

1

2

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)的零點(diǎn)及對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．