Question

圍建一個(gè)面積為360m²的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x（單位：米）．
（1）將修建圍墻的總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最��？并求出最小總費(fèi)用．

Answer 1

分析：（1）設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am，則根據(jù)圍建的矩形場(chǎng)地的面積為360m²，易得a=

360

x

，此時(shí)再根據(jù)舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中所得函數(shù)的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小值，及相應(yīng)的x值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am，
則y=45x+180（x-2）+180•2a=225x+360a-360．
由已知ax=360，得a=

360

x

，
所以y=225x+

3602

x

-360(x＞2)．

（II）因?yàn)閤＞0，所以225x+

3602

x

≥2

225×3602

=10800，
所以y=225x+

3602

x

-360≥10440，當(dāng)且僅當(dāng)225x=

3602

x

時(shí)，等號(hào)成立．
即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解�！�還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．