Question

給定實數(shù)a，a≠0，且a≠1，設(shè)函數(shù)y=（x∈R，且x≠）．
證明：（1）經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行
于x軸；
（2）這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸，設(shè)M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點，可通過證明任意兩個不同的點的直線的斜率恒不為0得到；
（2）要證這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形，設(shè)點P（x'，y'）是這個函數(shù)圖象上任意一點，證明其對稱點（y'，x'）也在此函數(shù)的圖象上即可．
解答：解：（1）設(shè)M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點，則x₁≠x₂，且
=，
∵a≠1，且x₁≠x₂，∴y₂-y₁≠0．
從而直線M₁M₂的斜率，因此，直線M₁M₂不平行于x軸．
（2）設(shè)點P（x'，y'）是這個函數(shù)圖象上任意一點，則x'≠，且y'=（1）易知點P（x'，y'）關(guān)于直線y=x的對稱點P'的坐標為（y'，x'）由（1）式得y'（ax'-1）=x'-1，即x'（ay'-1）=y'-1，（2），即ax'-a=ax'-1，由此得a=1，與已知矛盾，∴
這說明點P'（y'，x'）在已知函數(shù)的圖象上，
因此，這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形．
點評：本題主要考查了等價轉(zhuǎn)化能力和數(shù)式的運算能力，屬于中檔題．對（1）也可用反證法或考查平行x軸的直線y=c與所給函數(shù)的圖象是否相交及交點數(shù)目的情況．由其無交點或恰有一交點，從而得證．對（2）也可先求反函數(shù)，由反函數(shù)與原函數(shù)相同證明其圖象關(guān)于y=x對稱）．