【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當時,證明:對任意的.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出導函數(shù),對參數(shù)a進行分類討論,得出導函數(shù)的正負,判斷原函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)整理不等式得ex-lnx-2>0,構造函數(shù)h(x)=ex-lnx-2,則可知函數(shù)h'(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增, 所以方程h'(x)=0在(0,+∞)上存在唯一實根x0,即得出函數(shù)的最小值為h(x)min=h(x0)=ex0lnx02=即ex﹣lnx﹣2>0在(0,+∞)上恒成立,即原不等式成立.
試題解析:
解:(Ⅰ)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
由已知得.
當a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
當a>0時,由f'(x)>0,得,由f'(x)<0,得,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上,當a≤0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
當a>0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)證明:當a=1時,不等式f(x)+ex>x2+x+2可變?yōu)?/span>ex﹣lnx﹣2>0,令h(x)=ex﹣lnx﹣2,則,可知函數(shù)h'(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,
而,
所以方程h'(x)=0在(0,+∞)上存在唯一實根x0,即.
當x∈(0,x0)時,h'(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(x0,+∞)時,h'(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增; 所以.
即ex﹣lnx﹣2>0在(0,+∞)上恒成立,
所以對任意x>0,f(x)+ex>x2+x+2成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校數(shù)學課外興趣小組為研究數(shù)學成績是否與性別有關,先統(tǒng)計本校高三年級每個學生一學期數(shù)學成績平均分(采用百分制),剔除平均分在分以下的學生后, 共有男生名,女生名,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了名學生,按性別分為兩組,并將兩組學生成績分為組, 得到如下頻數(shù)分布表.
(Ⅰ)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表),從計算結(jié)果看,能否判斷數(shù)學成績與性別有關;
(Ⅱ)規(guī)定分以上為優(yōu)分(含分),請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并判斷是否有%以上的把握認為“數(shù)學成績與性別有關”,( ,其中)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校夏令營有3名男同學A、B、C和3名女同學X,Y,Z,其年級情況如下表,現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同).
(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;
(2)設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”,求事件M發(fā)生的概率.
一年級 | 二年級 | 三年級 | |
男同學 | A | B | C |
女同學 | X | Y | Z |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知短軸長為2的橢圓,直線的橫、縱截距分別為,且原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線經(jīng)過橢圓的右焦點且與橢圓交于兩點,若橢圓上存在一點滿足,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值.
(Ⅱ)是否存在一次函數(shù),使得對于,總有,且成立?若存在,求出的表達式;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程.
(Ⅱ)當時,若曲線上的點都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),試求的取值范圍.
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