Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，則稱(chēng)f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱(chēng)為函f（x）的一個(gè)上界．
已知函數(shù)f（x）=1+a(

1

2

)x+(

1

4

)x，g（x）=log

1

2

1-ax

x-1

．
（1）若函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)g（x），在區(qū)間[

5

3

，3]上的所有上界構(gòu)成的集合；
（3）若函數(shù)g（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求出函數(shù)g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在區(qū)間[

5

3

，3]上的值域?yàn)閇-2，-1]，結(jié)合新定義，即可求得結(jié)論；
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，可得-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，換元，求出左邊的最大值，右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，
∴g（-x）=-g（x），即log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

．，
即

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，得a=±1，而當(dāng)a=1時(shí)不合題意，故a=-1．…（4分）
（2）由（1）得：g（x）=log

1

2

1+x

x-1

，
∵函數(shù)g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在區(qū)間[

5

3

，3]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在區(qū)間[

5

3

，3]上的值域?yàn)閇-2，-1]，
∴|g（x）≤2，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間[

5

3

，3]上的所有上界構(gòu)成集合為[2，+∞）．…（8分）
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，
∴-4-(

1

4

)x≤a(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立．  …（10分）
設(shè)t=2^x，t≥1，h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，
則h′（t）=-4+

1

t2

＜0，p′（t）=2+

1

t2

＞0，
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，…（12分）
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的新定義問(wèn)題，考查了換元法求函數(shù)的值域，綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)面廣，難度較大．