Question

已知向量

OP

=(2cos(

π

2

+x)，-1)，

OQ

=(-sin(

π

2

-x)，cos2x)，f(x)=

OP

•

OQ

．a(chǎn)、b、c是銳角三角形△ABC角A、B、C的對(duì)邊，且f（A）=1，b+c=5+3

2

，a=

13

．
（1）在所給坐標(biāo)系下用“五點(diǎn)法”作出y=f（x）（x∈[0，π]）的圖象；
（2）求角A；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

OP

•

OQ

=2cos(x+

π

2

)[-sin(

π

2

-x)]-cos2x=-2sinx•（-cosx）-cos2x=2sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，利用五點(diǎn)法即可
（2）由f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)=1可得sin(2A-

π

4

)=

2

2

，即2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，結(jié)合ABC為銳角三角形可求
（3）在△ABC中，由余弦定理得：a²=13=b²+c²-2bccosA可求bc，代入三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA即可

解答：解：（1）∵f(x)=

OP

•

OQ

=2cos(x+

π

2

)[-sin(

π

2

-x)]-cos2x
=-2sinx•（-cosx）-cos2x=2sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
列表如下：

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x- π 4	- π 4	0	π 2	π	3π 2	7π 4
f（x）	-1	0	2	0	- 2	-1

作出圖象為：

（2）∵f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)=1
∴sin(2A-

π

4

)=

2

2

，2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

∴A=

π

4

或A=

π

2

（舍去，∵△ABC為銳角三角形）．
∴A=

π

4

．
（3）在△ABC中，由余弦定理得：a²=13=b²+c²-2bccosA
∴13=(b+c)2-2bc-

2

bc
∴bc=15

2

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×15

2

×

2

2

=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示為載體，借助三角函數(shù)的二倍角公式及輔助角公式，考查了正弦函數(shù)的五點(diǎn)作圖法及正弦函數(shù)的性質(zhì)及正弦與余弦定理解三角形等知識(shí)的綜合應(yīng)用．