精英家教網(wǎng)如圖,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個點,點Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標原點).
(1)寫出a1,a2,a3;
(2)求出點An(an,0)(n∈N*)的橫坐標an關(guān)于n的表達式;并用數(shù)學歸納法證明.
分析:(1)由題意可知直線A0P1為y=
3
x,然后與y2=3x聯(lián)立可得到P1的坐標,再由△A0A1P1是正三角形可得到A1的坐標得到a1的值,同理可得到a2、a3
(2)先根據(jù)題意可得到關(guān)系 xn=
an-1+an
2
,yn=
3
an-an-1
2
,然后根據(jù)yn2=3xn得(an-an-12=2(an-1+an),從而可猜想數(shù)列通項公式an=n(n+1),再由數(shù)學歸納法證明即可.
解答:解(1)a1=2,a2=6,a3=12;
(2)依題意,得 xn=
an-1+an
2
,yn=
3
an-an-1
2
,由此及yn2=3xn(
3
an-an-1
2
)2=
3
2
(an-1+an)
,即(an-an-12=2(an-1+an).
由(1)可猜想:an=n(n+1)n∈N*
下面用數(shù)學歸納法予以證明:
(1)當n=1時,命題顯然成立;
(2)假定當n=k時命題成立,即有an=k(k+1),則當n=k+1時,由歸納假設及(ak+1-ak2=2(ak+ak+1)得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1],即(ak+12-2(k2+k+1)ak+1+[k(k-1)]•[(k+1)(k+2)]=0,
解之得ak+1=(k+1)(k+2),(ak+1=k(k-1)<ak不合題意,舍去),
即當n=k+1時,命題成立.
由(1)、(2)知:命題成立.
點評:本題主要考查求數(shù)列通項公式、數(shù)列的單調(diào)性問題以及二次函數(shù)的恒成立問題,考查綜合運用能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個點,點Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標原點).則a1=
 
;猜想an關(guān)于n的表達式為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個點,點Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標原點).
(1)寫出a1,a2,a3;
(2)求出點An(an,0)(n∈N*)的橫坐標an關(guān)于n的表達式;
(3)設bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
,若對任意的正整數(shù)n,當m∈[-1,1]時,不等式t2-2mt+
1
6
bn
恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn) 是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個點,點Ai(ai,0)(i=1,2,3,…n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標原點).
(1)求a1、a2、a3的值;
(2)求出點An(an,0)(n∈N+)的橫坐標an和點An-1(an-1,0)(n>0,n∈N+)橫坐標an-1的關(guān)系式;
(3)根據(jù)(1)的結(jié)論猜想an關(guān)于n的表達式,并用數(shù)學歸納法證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•閘北區(qū)二模)如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…是曲線C:y2=
1
2
x(y≥0)
上的點,A1(a1,0),A2(a2,0),…,An(an,0),…是x軸正半軸上的點,且△A0A1P1,△A1A2P2,…,△An-1AnPn,…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形(A0為坐標原點).
(1)寫出an-1、an和xn之間的等量關(guān)系,以及an-1、an和yn之間的等量關(guān)系;
(2)猜測并證明數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
,集合B={b1,b2,b3,…,bn,…},A={x|x2-2ax+a2-1<0,x∈R},若A∩B=∅,求實常數(shù)a的取值范圍.

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