Question

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價P與上市時間t滿足關系P=

300-t(當0≤t≤200) 2t-300(當200＜t≤300)

，西紅柿的種植成本Q與上市時間t滿足關系Q=

1

200

(t-150)2+100（0≤t≤300）（市場售價與種植成本的單位是：元/100kg，時間單位是：天）．若認定市場售價減去種植成本為純收益，問：何時上市的西紅柿純收益最大？

Answer 1

分析：由純收益=收入-成本，結合從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價P與上市時間t滿足關系P=

300-t(當0≤t≤200) 2t-300(當200＜t≤300)

，西紅柿的種植成本Q與上市時間t滿足關系Q=

1

200

(t-150)2+100（0≤t≤300），我們易得到純收益h（t）的解析式，根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，我們分別求出兩段上函數(shù)的最值，綜合討論結果，即可得到結論．

解答：解：設t時刻上市的西紅柿純收益為h（t）元/100kg，則依題意有h（t）=P-Q
即h（t）=

- 1 200 t2+ 1 2 + 175 2 ，當0≤t≤200 - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 ，當200＜t≤300

…（6分）
（1）當0≤t≤200時，h（t）=-

1

200

(t-50)2+100，
故當t=50時，h（t）最大，且h（t）_max=h（50）=100．…（8分）
（2）當200＜t≤300時，h（t）=-

1

200

(t-350)2+100，故此時h(t)max=h（300）=87.5
綜上所述得：當t=50時，h（t）最大，
即從二月一日開始的第50天上市的西紅柿純收益最大  …（12分）

點評：本題考查的知識點是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，函數(shù)的值域，其中根據(jù)純收益=收入-成本，求出純收益h（t）的解析式，是解答本題的關鍵．