Question

（2013•嘉興二模）已知點(diǎn)A（-3，0）和圓O：x²+y²=9，AB是圓O的直徑，M和N是AB的三等分點(diǎn)，P（異于A，B）是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB于D，

PE

=λ

ED

(λ＞0)，直線PA與BE交于C，則當(dāng)λ=

1

8

時(shí)，|CM|+|CN|為定值．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則點(diǎn)E（x₀，

1

1+λ

•y0），用點(diǎn)斜式求出PA、BE的方程，聯(lián)立方程組求得點(diǎn)C滿足的關(guān)系式，為

x2

9

+

y2

9 1+λ

=1，故點(diǎn)C在以AB為長軸的橢圓上，當(dāng)M、N為此橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，|CM|+|CN|為定值2a=6．再根據(jù)
a²-b²=c² 可得λ的值．

解答：解：由題意可得B（3，0），M（-1，0）、N（1，0），設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則點(diǎn)E（x₀，

1

1+λ

•y0）．
故PA的方程為 y=

y0

x0+3

•（x+3）…①，BE的方程為 y=

1 1+λ •y0

x0-3

（x-3）…②．
由①②聯(lián)立方程組可得 y²=

y02

(1+λ)(x02-9)

 （x²-9）．
把y02=9-x02 代入化簡可得

x2

9

+

y2

9 1+λ

=1，故點(diǎn)C在以AB為長軸的橢圓上，當(dāng)M、N為此橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，
|CM|+|CN|為定值2a=6．
此時(shí)，a=3，c=1，b=

9 1+λ

，由 a²-b²=c² 可得 9-

9

1+λ

=1，求得λ=

1

8

，
故答案為

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，橢圓的定義和簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．