已知點
F
 
1
、
F
 
2
分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F2的距離的最大值為
2
+1，且△P
F
 
1
F
 
2
的最大面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）點M的坐標為(
5
4
，0)，過點F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A、B兩點，求
MA
•
MB
的值．
分析：（Ⅰ）由P到焦點F2的距離的最大值為
2
+1，可得a+c=
2
+1，由△P
F
 
1
F
 
2
的最大面積為1，可得bc=1，結合a2=b2+c2，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積運算，化簡即可求得
MA
•
MB
的值．
解答：解：（Ⅰ）依題意，∵P到焦點F2的距離的最大值為
2
+1，
∴a+c=
3
+1，①
∵△P
F
 
1
F
 
2
的最大面積為1，
∴
S
 
△P
F
 
1
F
 
2
=
1
2
•2c×b=bc=1，②
又a2=b2+c2，③
由①②③解得：a2=2，b2=c2=1，得橢圓方程為
x2
2
+y2=1
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y整理得：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
由于點M (
5
4
，0)在橢圓內(nèi)，顯然上式的判別式△＞0恒成立，故直線L總與橢圓C相交于A、B兩點
設A(
x
 
1
，
y
 
1
)，B(
x
 
2
，
y
 
2
)，
∴
x
 
1
+
x
 
2
=
4k2
1+2k2
，
x
 
1
x
 
2
=
2k2-2
1+2k2
，
MA
=(
x
 
1
-
5
4
，
y
 
1
)，
MB
=(
x
 
2
-
5
4
，
y
 
2
)，
∴
MA
•
MB
=(
x
 
1
-
5
4
)(
x
 
2
-
5
4
)+
y
 
1
y
 
2
=
x
 
1
x
 
2
-
5
4
(
x
 
1
+
x
 
2
)+
25
16
+k2(
x
 
1
-1)(
x
 
2
-1)=(1+k2)
x
 
1
x
 
2
-(
5
4
+k2)(
x
 
1
+
x
 
2
)+k2+
25
16
=(1+k2)•
2k2-2
1+2k2
-
5+4k2
4
•
4k2
1+2k2
+k2+
25
16
=-
7
16

故
MA
•
MB
=-
7
16
．
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量的數(shù)量積，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點（1，
1
3
）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象上一點，等比數(shù)列{an}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{bn}（bn＞0）的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．記數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項和為Tn，
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若對任意正整數(shù)n，當m∈[-1，1]時，不等式t2-2mt+
1
2
＞Tn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點（1，
1
3
）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）圖象上的一點，等比數(shù)列{an}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{bn}（bn＞0）的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若數(shù)列{
1
bnbn+1
}的前n項和為Tn，問使Tn＞
1000
2011
的最小正整數(shù)n是多少？
（3）若cn=-
1
2
an•bn，求數(shù)列{cn}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點（1，
1
3
）是函數(shù)f（x）ax （a＞0且a≠1）的圖象上一點，等比數(shù)列{an}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{bn}（bn＞0）的首項為c，且前n項和Sn滿足sn-sn-1=
sn
+
sn-1
（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若數(shù)列{cn}的通項cn=bn•(
1
3
)n，求數(shù)列{cn}的n項和Rn；
（3）若數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項和為Tn，問Tn＞
1000
2013
的最小正整數(shù)n是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(理)已知點B1(1，y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為某直線l上的點，點A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0)，…順次為x軸上的點，其中x1=a(0＜a≤1).對于任意的n∈N*,△AnBnAn+1是以Bn為頂點的等腰三角形.

(1)證明xn+2-xn是常數(shù)，并求數(shù)列{xn}的通項公式.

(2)若l的方程為y=,試問在△AnBnAn+1(n∈N*)中是否存在直角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

(文)已知函數(shù)f(x)=ax3x2+cx+d(a、c、d∈R)滿足f(0)=0,f′(1)=0,且f′(x)≥0在R上恒成立.

(1)求a、c、d的值.

(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f′(x)+h(x)＜0.

(3)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f′(x)-mx在區(qū)間［m,m+2］上有最小值-5?若存在，請求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由.

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