Question

設函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

1-a

2

x2-x，a∈R．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當a≠-1時，求函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

分析：（1）先求當a=-2時函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)小于0，解得x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間．
（2）先求函數(shù)的導數(shù)，為令導數(shù)等于0，求出函數(shù)的極值點，極值點把函數(shù)的定義域分成幾個區(qū)間，按a與0，-1的大小比較分情況討論函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性，當在極值點左側(cè)導數(shù)小于0，右側(cè)導數(shù)大于0，此極值點處取得極小值，再代入原函數(shù)即可．

解答：解：（1）當a=-2時，f（x）=f(x)=

-2

3

x3+

3

2

x2-x
∴f'（x）=-2x²+3x-1=-（2x-1）（x-1），
令f'（x）＜0，解得x＞1或x＜

1

2

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），(-∞，

1

2

)．
（2）f'（x）=f（x）=ax²+（1-a）x-1=（ax+1）（x-1）
當a=0時，f'（x）=x-1，當x＜1時，f'（x）＜0．當x＞1時，f'（x）＞0，當x=1時，f'（x）=0
∴f（x）在（-∞，1）內(nèi)單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，f（x）的極小值=f(1)=-

1

2

當a≠0時，令f'（x）=0，解得x1=1，x2=-

1

a

當a＞0時，-

1

a

＜1，列表如下：

x	(-∞，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

f（x）的極小值=f(1)=-

a

6

-

1

2

當-1＜a＜0時，1＜-

1

a

，列表如下：

x	（-∞，1）	1	(1，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減		遞增		遞減

f（x）的極小值=f(1)=-

a

6

-

1

2

當a＜-1時，列表如下：

x	(-∞，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減		遞增		遞減

f（x）的極小值=f(-

1

a

)=

1

6a2

+

1

2a

，
所以函數(shù)f（x）的極小值=

- a 6 - 1 2 a＞-1 1 6a2 + 1 2a a＜-1

．

點評：本題主要考查利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，其中含有參數(shù)，要對參數(shù)進行討論．