Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，    

b

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，

c

=(

3

，-1)，其中x∈R，
（1）當

a

•

b

=

1

2

時，求x值的集合；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=(

a

-

c

)2，求f（x）的最小正周期及其單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過

a

•

b

=

1

2

時，利用兩角和的余弦函數(shù)，化簡函數(shù)為 一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求x值的集合；
（2）通過f(x)=(

a

-

c

)2，利用兩角和與差的三角函數(shù)的化簡函數(shù)的表達式，直接求f（x）的最小正周期及其單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)•(cos

x

2

，sin

x

2

)
=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x=

1

2

．
∴2x=2kπ±

π

3

，
x=kπ±

π

6

，k∈Z．
（2）∵

a

-

c

 =（cos

3x

2

-

3

，sin

3x

2

+1）
∴f（x）=（cos

3x

2

-

3

）²+（sin

3x

2

+1）²=5-2

3

cos

3x

2

+2sin

3x

2

5+4（

1

2

cos

3x

2

+

3

2

sin

3x

2

）=5+4sin（

3x

2

-

π

3

），
所以函數(shù)的最小正周期為：T=

2π

3 2

=

4π

3

．
因為2kπ-

π

2

≤

3x

2

-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即

4kπ

3

-

π

9

≤x≤ 

4π

3

+

5π

9

時，函數(shù)5+4sin（

3x

2

-

π

3

）單調(diào)遞增，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

4kπ

3

-

π

9

，

4π

3

+

5π

9

]，k∈Z}．

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期，單調(diào)增區(qū)間的求法，涉及的知識有，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的三角函數(shù)是解此類題的關(guān)鍵．