已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，、、是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點，直線交于點，設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值.

（1）橢圓的方程為；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先根據(jù)題中條件求出、、，進而可以求出橢圓的方程；（2）先由直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立求出點的坐標，然后由、、三點共線，利用平面向量共線進行等價轉(zhuǎn)化，求出點的坐標，于是得到直線的斜率，最終證明為定值.
試題解析：（1）由直線與圓得，
由，得，所以，
所以橢圓的方程為；
（2）因為，不為橢圓定點，即的方程為，①②
將①代入，解得，
又直線的方程為， ②
由、、三點共線可得，
所以的斜率為，則（定值）.
考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的公共點的求解；3.直線的斜率；4.三點共線

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，為坐標原點，如果一個橢圓經(jīng)過點P(3,),且以點F(2,0)為它的一個焦點.
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）在（1）中求過點F(2,0)的弦AB的中點M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓拋物線的焦點均在軸上，的中心和 的頂點均為坐標原點從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：











（Ⅰ）求分別適合的方程的點的坐標；
（Ⅱ）求的標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點，平行于的直線在y軸的截距為，且交橢圓與兩點，

（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）求證：直線、與x軸圍成一個等腰三角形，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓.過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且｜F1F2｜＝2，點P（1，）在橢圓C上.

（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線：與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且，，四邊形面積S的求最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率．
（I）求橢圓的方程；（II）已知直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線M： 的準線過橢圓N： 的左焦點，以坐標原點為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C.

（1）求拋物線M的方程.
（2）設(shè)點A的橫坐標為x1，點C的橫坐標為x2，曲線M上點D的橫坐標為x1+2，求直線CD的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于、兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.

（1）設(shè)，證明：；
（2）設(shè)直線AB的方程是，過、兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.

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