Question

在空問四邊形ABCD中，△ABD、△CBD都是邊長為1的正三角形，且平面ABD⊥平面CBD．E、F、G、H為空間四邊形AB、AD、CD、BC邊上的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積是

6

8

．

Answer 1

分析：取BD的中點(diǎn)為O，連接AO，CO，依題意，可知BD⊥平面AOC⇒BD⊥AC；從而知四邊形EFGH為矩形；易求AC=

6

2

，故FG=

6

4

，EF=

1

2

，從而可求四邊形EFGH的面積．

解答：解：依題意，作圖如下：
取BD的中點(diǎn)為O，連接AO，CO．
∵△ABD、△CBD都是邊長為1的正三角形，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO=O，
∴BD⊥平面AOC，AC?平面AOC，
∴BD⊥AC；
∵E、F、G、H為空間四邊形AB、AD、CD、BC邊上的中點(diǎn)，
∴EF

∥

.

GH

∥

.

1

2

BD=

1

2

，F(xiàn)G

∥

.

EH

∥

.

1

2

AC，
∵BD⊥AC，故EF⊥FG，即四邊形EFGH為矩形；
在等腰直角三角形AOC中，AC²=AO²+CO²=(

3

2

)2+(

3

2

)2=

3

2

，
∴AC=

6

2

，故FG=

6

4

，
∴四邊形EFGH的面積S=EF•FG=

1

2

×

6

4

=

6

8

．
故答案為：

6

8

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，突出運(yùn)算能力，屬于中檔題．