Question

(本小題滿分14分)已知數(shù)列是各項均不為的等差數(shù)列，公差為，為其前項和，且滿足，．數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和．
（1）求、和；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），，．
（2）的取值范圍是．
（3）當且僅當， 時，數(shù)列中的成等比數(shù)列．

本試題主要是考查了數(shù)列通項公式與前n項和之間的關系的運用以及分類討論思想求解最值。
（1）利用 a_n²=S_2n-1，n取1或2，可求數(shù)列的首項與公差，從人體可得數(shù)列的通項，進而可求數(shù)列的和；
（2）分類討論，分離參數(shù)，求出對應函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．
（3）根據(jù)已知值成等比數(shù)列，可知參數(shù)m的范圍，然后利用m是整數(shù)，得到值。
解：（1）（法一）在中，令，，
得  即      ………………………2分
解得，，                       …………………3分
．
，
．       ……………………5分
（法二）是等差數(shù)列，
．               …………………………2分
由，得 ，                        
又，，則．              …………………3分
(求法同法一)
（2）①當為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …………………………………6分
，等號在時取得．           
此時 需滿足．               …………………………7分
②當為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       ……………………………8分
是隨的增大而增大， 時取得最小值．
此時 需滿足．               …………………………9分
綜合①、②可得的取值范圍是．  …………………………10分
（3），
若成等比數(shù)列，則，即．11分
（法一）由，　　可得，
即， 　　　……………………12分
．    ……………………13分
又，且，所以，此時．
因此，當且僅當， 時，數(shù)列中的成等比數(shù)列．…………14分
（法二）因為，故，即，
，（以下同上）．…………………13分