Question

（2013•杭州一模）設(shè)函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，（其中a＞0）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）當(dāng)a=4時(shí)，給出直線l₁：5x+2y=m=0和l₂：3x-y+n=0，其中m，n為常數(shù)，判斷直線l₁或l₂中，是否存在函數(shù)f（x）的圖象的切線，若存在，求出相應(yīng)的m或n的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入，求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得極值；
（Ⅱ）把a(bǔ)=4代入可得導(dǎo)數(shù)≥4

2

-6，故l₁或l₂中，不存函數(shù)圖象的切線，令導(dǎo)數(shù)=3，可得n值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極小值-2．                    …（7分）
（Ⅱ）當(dāng)a=4時(shí)，f′（x）=2x-6+

4

x

，∵x＞0，
∴f′（x）=2x+

4

x

-6≥4

2

-6，
故l₁或l₂中，不存函數(shù)圖象的切線．
由2x+

4

x

-6=3得x=

1

2

，或x=4，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，可得n=-

17

4

-4ln2，
當(dāng)x=4時(shí)，可得n=4ln4-20．                  （15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的極值，屬中檔題．