已知橢圓的中心、上頂點、右焦點構成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A、B分別是橢圓的左、右頂點，點M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于P點，試問：在x軸上是否存在異于點A的定點C，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點，若存在，求出C點的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】分析：（1）由題意知解得b，c，從而a=2．最后寫出橢圓方程；
（2）可設直線AM的方程為y=k（x+2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系求出P點的橫坐標x1，再利用向量垂直即可求得C點的橫坐標x，從而解決問題．
解答：解：（1）由題意知解得b=c=，從而a=2．
∴橢圓方程為 （4分）
（2）A（-2，0），B（2，0），
可設直線AM的方程為y=k（x+2），P（x1，y1），MB⊥AB，∴M（2，4k），
直線AM代入橢圓方程x2+2y2=4，
得 （1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0（6分）
∴，
∴x1=，
∴P（，），
設C（x，0），且x≠-2，以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點，則
MC⊥BP，∴=0，即：（2-x）+4k=，
∴x=0，
故存在異于點A的定點C（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關系、考查存在性問題，解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2010年北京大學附中高考數(shù)學考前猜題試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓和判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且半短軸長為b的橢圓Cb的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；
（3）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江蘇省無錫市高二下期中數(shù)學試卷（成志班）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為、、，我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.

（1）已知橢圓和，判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請說明理由；

（2）若與橢圓相似且半短軸長為的橢圓為，且直線與橢圓為相交于兩點(異于端點)，試問：當面積最大時， 是否與有關？并證明你的結論.

（3）根據(jù)與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，提出你認為有價值的相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓數(shù)學公式的中心、上頂點、右焦點構成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A、B分別是橢圓的左、右頂點，點M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于P點，試問：在x軸上是否存在異于點A的定點C，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點，若存在，求出C點的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為、、，

我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為 橢圓的相似比.

（1）已知橢圓和，

判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請說明理由；

（2）設短半軸長為的橢圓與橢圓相似，試問在橢圓上是否存在兩點、關于直線對稱,，若存在求出b的范圍，不存在說明理由.

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