Question

點(diǎn)P是直線(xiàn)2x+y+10=0上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)PA、PB分別切圓x²+y²=4于A、B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最小值=

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB則要求S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA的最小值，轉(zhuǎn)化為求PA最小值，由于PA²=PO²-4，當(dāng)PO最小時(shí)，PA最小，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知當(dāng)PO⊥l時(shí)，PO有最小值，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求

解答：解：由題意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB
S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA
又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA²=PO²-4，當(dāng)PO最小時(shí)，PA最小，此時(shí)所求的面積也最小
點(diǎn)P是直線(xiàn)l：2x+y+10=0上的動(dòng)點(diǎn)，
當(dāng)PO⊥l時(shí)，PO有最小值d=

10

5

=2

5

，PA=4
所求四邊形PAOB的面積的最小值為8
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系中的重要類(lèi)型：相切問(wèn)題的處理方法，解題中要注意對(duì)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．