如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，D是BC的中點，E是CC1上的點，且CE=1．
（1）求證：BE⊥平面ADB1；
（2）求二面角B-AB1-D的余弦值．
分析：（1）建立空間直角坐標系，證明
BE
•
AD
=0，
BE
•
AB1
=0，即可得到結論；
（2）確定平面ADB1的法向量、平面BAB1的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-AB1-D的余弦值．
解答：（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（2，0，0），E（0，2，1），A（0，0，0），D（1，1，0），B1（2，0，4）
∴
BE
=（-2，2，1），
AD
=（1，1，0），
AB1
=（2，0，4）
∴
BE
•
AD
=0，
BE
•
AB1
=0
∴BE⊥AD，BE⊥AB1
∴AD∩AB1=A
∴BE⊥平面ADB1；
（2）解：由（1）知，平面ADB1的法向量為
BE
=（-2，2，1），平面BAB1的法向量為
.
n
=（0，1，0）
∴cos＜
BE
，
.
n
＞=
BE
•
.
n
|
BE
||
.
n
|
=
2
3

∴二面角B-AB1-D的余弦值為
2
3
．
點評：本題考查了線面垂直的證明及求二面角的余弦值，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面B1DP的距離

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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