Question

已知△ABC的邊AB所在直線的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿足，點(diǎn)T（-1，1）在AC所在直線上且．   
（1）求△ABC外接圓的方程；
（2）一動圓過點(diǎn)N（-2，0），且與△ABC的外接圓外切，求此動圓圓心的軌跡方程Γ；
（3）過點(diǎn)A斜率為k的直線與曲線Γ交于相異的P，Q兩點(diǎn)，滿足，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知AT⊥AB，從而直線AC的斜率為-3．所以AC邊所在直線的方程為3x+y+2=0．由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），由此能求出△ABC外接圓的方程．
（2）設(shè)動圓圓心為P，因?yàn)閯訄A過點(diǎn)N，且與△ABC外接圓M外切，所以，即．故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為，半焦距c=2的雙曲線的左支．由此能求出動圓圓心的軌跡方程．
（3）PQ直線方程為：y=kx-2，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
，由此能夠得到k的取值范圍．
解答：解：（1）∵∴AT⊥AB，從而直線AC的斜率為-3．
所以AC邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
由得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
又．
所以△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．
（2）設(shè)動圓圓心為P，因?yàn)閯訄A過點(diǎn)N，且與△ABC外接圓M外切，
所以，即．
故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為，半焦距c=2的雙曲線的左支．
從而動圓圓心的軌跡方程Γ為．
（3）PQ直線方程為：y=kx-2，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
∴
解得：
故k的取值范圍為
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．