若函數(shù)f(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
)+2
在(-∞,0)上有最小值-5,(a,b為常數(shù)),則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上
(  )
分析:先令g(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
),判斷其奇偶性,再由函數(shù)f(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
)+2
在(-∞,0)上有最小值-5,得到函數(shù)g(x)在(-∞,0)上有最小值-7,從而有g(x)在(0,+∞)上有最大值7,則由f(x)=g(x)+2得到結(jié)論.
解答:解:令g(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
),
其定義域為R,
又g(-x)=a(-x)3+blog2(-x+
(-x)2+1

=-[ax3+blog2(x+
x2+1
)]=-g(x)
所以g(x)是奇函數(shù).
由根據(jù)題意:f(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
)+2
在(-∞,0)上有最小值-5,
所以函數(shù)g(x)在(-∞,0)上有最小值-7,
由函數(shù)g(x)在(0,+∞)上有最大值7,
所以f(x)=g(x)+2在(0,+∞)上有最大值9.
故選D.
點評:本題主要考查函數(shù)的構(gòu)造進而研究性質(zhì),若看到x與-x這樣的信息,一般與函數(shù)的奇偶性有關.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列三個命題:
①若函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象關于y軸對稱,則φ=
π
2
;
②若函數(shù)f(x)=
ax-2
x-1
的圖象關于點(1,1)對稱,則a=1;
③函數(shù)f(x)=|x|+|x-2|的圖象關于直線x=1對稱.
其中真命題的序號是
 
.(把真命題的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>1,若函數(shù)f(x)=
ax,-1<x≤1
f(x-2)+a-1,1<x≤3
,則f[f(x)]-a=0的根的個數(shù)最多有( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=
ax,(x>1)
(4-
a
2
)x+2,(x≤1)
是R上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a取值范圍為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•資陽一模)已知函數(shù)f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的方程;
(2)若函數(shù)f(x)-ax+m=0在[
1e
,e]
上有兩個不等的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸交于不同的點A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求證:f′(px1+qx2)<0(其中實數(shù)p,q滿足0<p≤q,p+q=1)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=
ax(x>1)
(4-
a
2
)x+2(x≤1)
對于R上的任意x1≠x2都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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