Question

(本小題滿分14分）

已知函數(shù)

（1）當時，函數(shù)在處的切線方程為，求的值；

（2）當時，設(shè)的反函數(shù)為（的定義域即是的值域）.證明:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點,在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點；

（3）求函數(shù)的極值.

 

Answer 1

【答案】

 

解:（1）當時,, ……1分

,

……2分

函數(shù)在處的切線方程為: ……3分

整理得:

所以有,

解得……4分

(2) 當時，,

所以,……5分

=，

令得；令得,令得，

故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，在處取得極小值,

進而可知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù),在處取得極小值.……6分

又.……7分

所以,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間有且只有一個零點.8分

(3)當時,在上單調(diào)遞增,且>0. ……9分

當時,.

①若則在上單調(diào)遞增,且.

又,在R上是增函數(shù),無極值. ……10分

②若,,則在上單調(diào)遞增.

同理,在R上是增函數(shù),無極值. ……11分

③若,令,得.

當時,

當時,

所以,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

又在上單調(diào)遞增,故.……13分

綜上, 當時,.

     當時, 無極值. ……14分

 

【解析】略