已知函數(shù)f（x）=ax2-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）無極值點，但其導(dǎo)函數(shù)f'（x）有零點，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于數(shù)學公式．

解 （Ⅰ）首先，x＞0
f′（x）有零點而f（x）無極值點，表明該零點左右f′（x）同號，故a≠0，且2ax2-2x+1=0的△=0．由此可得
（Ⅱ）由題意，2ax2-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：
設(shè)2ax2-2x+1=0的兩根為x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，
因為在區(qū)間（0，x1），（x2，+∞）上，f′（x）＞0，
而在區(qū)間（x1，x2）上，f′（x）＜0，故x2是f（x）的極小值點．
因f（x）在區(qū)間（x1，x2）上f（x）是減函數(shù)，如能證明，則更有
由韋達定理，，
令，其中設(shè)，
利用導(dǎo)數(shù)容易證明g（t）當t＞1時單調(diào)遞減，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt- t+＜0，
因此f（）＜-，
從而有f（x）的極小值f（x2）＜-．
分析：（Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零點而f（x）無極值點，表明該零點左右f′（x）同號，故△=0．由此可得即可；
（Ⅱ）先由題意，2ax2-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，解得：，再設(shè)2ax2-2x+1=0的兩根為x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的極值點，從而得出證明．
點評：解決本題時要注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，要使的函數(shù)無極值點，表明該零點左右f′（x）同號即可，這種思想經(jīng)常用到．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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2x
)＞3．

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（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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