Question

如圖，在某建筑工地上有一個(gè)吊臂長(zhǎng)DF=24m的吊車，吊車底座FG高1．m．現(xiàn)準(zhǔn)備把一個(gè)底半徑為3m、高2m的圓柱形工件吊起平放到15m高的橋墩上．（注：當(dāng)物件與吊臂接觸后，鋼索CD長(zhǎng)可通過(guò)頂點(diǎn)D處的滑輪自動(dòng)調(diào)節(jié)并保持物件始終與吊臂接觸，且與工件的中心在一條垂直線上．）
（Ⅰ）記工件能被吊起的最大高度為y（m），請(qǐng)選取適當(dāng)?shù)淖兞繉�y表示成該變量的函數(shù)；
（Ⅱ）判斷工件能否安全被吊到橋墩上，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：

3

=1.732）

Answer 1

分析：（I）取吊臂的張角∠AFD=θ為變量，由圖可知，y=AB+1.1=AD-BC-CD+1.1=DFsiθ-2-CEtanθ+1.1=24sinθ-3tanθ-0.9=24sinθ-3tanθ-0.9（0＜θ＜

π

2

）
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出y的最大值，與15比較，作出判斷．

解答：解：（I）取吊臂的張角∠AFD=θ為變量，吊車能把工件吊起的最大高度y取決于θ．
由圖可知，y=AB+1.1=AD-BC-CD+1.1=DFsiθ-2-CEtanθ+1.1=24sinθ-3tanθ-0.9（0＜θ＜

π

2

）．…（4分）
（II）吊車不能把圓柱形工件吊起平放到15m高的橋墩上．…（5分）
由（I）知，y′=24cosθ-

3

cos2θ

．
令，y′=0，解得cosθ=

1

2

，∴θ=

π

3

．…（8分）
當(dāng)θ∈(0，

π

3

)時(shí)，

1

2

＜cosθ＜1，此時(shí)，y′=24cosθ-

3

cos2θ

=

24cos3θ-3

cos2θ

＞0；
當(dāng)θ∈(

π

3

，

π

2

)時(shí)，0＜cosθ＜

1

2

，此時(shí)y′=24cosθ-

3

cos2θ

=

24cos3θ-3

cos2θ

＜0；．
故當(dāng)，∴θ=

π

3

時(shí)，y有最大值，且最大值為y=9

3

-0.9=14.688＜15．…（11分）
∴吊車不能把圓柱形工件吊起平放到15m高的橋墩上．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問(wèn)題時(shí)，可借助函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決．