Question

如圖，在平面內(nèi)，，AB=2BC=2，P為平面外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PC=，

（1）問當(dāng)PA的長為多少時(shí)，
（2）當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由分析可知當(dāng)時(shí)，，則，由勾股定理可求得。（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043630421492.png" style="vertical-align:middle;" />為定值，且，，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值。分析可知均是以為底的等腰三角形，故取中點(diǎn)，連接。則有，從而可得。過作，E為垂足，從而可得，所以就是直線與平面所成角，在中即可求此角。
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043630171679.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，當(dāng)時(shí)，，而，所以時(shí)，此時(shí)，，即當(dāng)=時(shí)，
（2）
在中，因?yàn)镻C=，，，所以，.當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，，（如圖）在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043631201581.png" style="vertical-align:middle;" />，取中點(diǎn)，連接。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043631263658.png" style="vertical-align:middle;" />且點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043631310601.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,由此可求得，又在中，，所以，過作，E為垂足，由于，所以，，由兩個(gè)平面互相垂直的性質(zhì)可知：，所以就是直線與平面所成角，在中，可求得，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值是.