【題目】已知函數(shù)f(x)= 在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值及f(x)的極值;
(Ⅱ)是否存在區(qū)間(t,t+ )(t>0),使函數(shù)f(x)在此區(qū)間上存在極值和零點(diǎn)?若存在,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)如果對(duì)任意的 ,有|f(x1)﹣f(x2)|≥k| |,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】解:(I)由f(x)= ,得
∵f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,
,
∴a=1,
,x>0,

當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減,
故f(x)在x=1處取得極大值1,無極小值;
(Ⅱ)∵x>1時(shí), ,
當(dāng)x→0時(shí),y→﹣∞,
由(I)得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
∴由零點(diǎn)存在原理,f(x)在區(qū)間(0,1)存在唯一零點(diǎn),函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(t,t+ ),t>0上存在極值和零點(diǎn).
,解得
∴存在符合條件的區(qū)間,實(shí)數(shù)t的取值范圍為( );
( III)由(I)的結(jié)論知,f(x)在[e2 , +∞)上單調(diào)遞減,
不妨設(shè) ,則|f(x1)﹣f(x2)|≥k| |,則

∴函數(shù)F(x)=f(x)﹣ 在[e2 , +∞)上單調(diào)遞減,
,
在[e2 , +∞)上恒成立,
∴k≤lnx在[e2 , +∞)上恒成立.
在[e2 , +∞)上 ,
k≤2.
【解析】(Ⅰ)由函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行求得a的值,然后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)期間,則函數(shù)的極值可求;(Ⅱ)假設(shè)存在區(qū)間(t,t+ )(t>0),使函數(shù)f(x)在此區(qū)間上存在極值和零點(diǎn),則得到 ,解此不等式組求得t的取值范圍;(Ⅲ)由(I)的結(jié)論知,f(x)在[e2 , +∞)上單調(diào)遞減,然后構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)﹣ ,由函數(shù)在[e2 , +∞)上單調(diào)遞減,則其導(dǎo)函數(shù)在在[e2 , +∞)上恒成立,由此求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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②曲線W關(guān)于直線y=x對(duì)稱;
③曲線W與x軸非負(fù)半軸,y軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于 ;
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