分析:(1)直接利用導(dǎo)數(shù)的運算法則即可求出f′(x);
(2)把a=1代入其導(dǎo)函數(shù),找到其在x∈
[,e]上的單調(diào)性,即可求出其最大值和最小值;
(3)先由(2)知
f(x)=+lnx在[1,+∞)上為增函數(shù),再令
x=,利用x>1,f(x)>f(1)即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)因為函數(shù)
f(x)=+lnx,
所以f'(x)=[
]'+(lnx)'=
即
f′(x)=.(2分)
(2)當(dāng)a=1時,
f′(x)=,其中
x∈[,e],
而
x∈[,1)時,f'(x)<0;x∈(1,e]時,f'(x)>0,
∴x=1是f(x)在
[,e]上唯一的極小值點,(4分)
∴[f(x)]
min=f(1)=0.(5分)
又
f()-f(e)=e-2--1=>0,(6分)
∴
f()>f(e),∴
[f(x)]max=f()=e-2.(7分)
綜上,當(dāng)a=1時,f(x)在
[,e]上的最大值和最小值分別為e-2和0.(8分)
(3)若a=1時,由(2)知
f(x)=+lnx在[1,+∞)上為增函數(shù),(10分)
當(dāng)n>1時,令
x=,則x>1,故f(x)>f(1)=0,(12分)
即
f()=+ln=-+ln>0,
∴l(xiāng)n
>
.(14分)
點評:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題,是函數(shù)和導(dǎo)數(shù)這一章最基本的知識,也是教學(xué)中的重點和難點.