Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+kbx（x＞0）與函數(shù)g（x）=ax+blnx，a、b、k為常數(shù)，它們的導函數(shù)分別為y=f′（x）與y=g′（x）
（1）若g（x）圖象上一點p（2，g（2））處的切線方程為：x-2y+2ln2-2=0，求a、b的值；
（2）對于任意的實數(shù)k，且a、b均不為0，證明：當ab＞0時，y=f′（x）與y=g′（x）的圖象有公共點；
（3）在（1）的條件下，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）的圖象上兩點，g′(x0)=

y2-y1

x2-x1

，證明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=ax+blnx，知g（2）=2a+bln2，g′(x)=a+

b

x

，g′(2)=a+

b

2

，故g（x）圖象上一點p（2，g（2））處的切線方程為y-2a-bln2=（a+

b

2

）（x-2），由此能求出a和b．
（2）由f（x）=ax²+kbx（x＞0），利用導數(shù)的性質(zhì)和韋達定理能夠證明當ab＞0時，y=f′（x）與y=g′（x）的圖象有公共點．
（3）由a=0，b=1，知g（x）=lnx，由此進行分類討論，能夠證明x₁＜x₀＜x₂．

解答：解：（1）∵g（x）=ax+blnx，
∴g（2）=2a+bln2，g′(x)=a+

b

x

，
∴g′(2)=a+

b

2

，
∴g（x）圖象上一點p（2，g（2））處的切線方程為：
y-2a-bln2=（a+

b

2

）（x-2），
整理，得（a+

b

2

）x-y+bln2-b=0，
∵g（x）圖象上一點p（2，g（2））處的切線方程為：x-2y+2ln2-2=0，
∴

a+ b 2 =1 b=2

，解得a=0，b=1．
（2）∵f（x）=ax²+kbx（x＞0），
f′（x）=2ax+kb，
g′(x)=a+

b

x

，
原題即為ab＞0時，?k∈R有方程2ax+kb-a-

b

x

=0，
即

2ax2+(kb-a)x-b

x

=0在x＞0時有解．
∴2ax 2 +（kb-a）x-b=0在x＞0時有解，
∵兩根之積為：-

b

2a

＜0，
△=（kb-a）²+8ab
=k²b²-2abk+a²+8ab，k∈R，
∴△′=4a²b²-4b²（a²+8ab）
=4a²b²-4a²b²-32ab³
=-32ab³＜0，
∴方程2ax 2 +（kb-a）x-b=0在x＞0時有解，
∴ab＞0時，y=f′（x）與y=g′（x）的圖象有公共點．
（3）∵a=0，b=1，
∴g（x）=lnx，x＞0
∴g′(x)=

1

x

，
∴g′(x0)=

1

x0

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
∴x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

=

x2-x1

ln x2 x1

，

∴x0-x1= x2-x1 ln x2 x1 -x1 = x2-x1-x1ln x2 x1 ln x2 x1 = x1 ln x2 x1 ( x2 x1 -1-ln x2 x1 )

令t=

x2

x1

，則t＞1，令h（t）=t-1-lnt，
則h′（x）=1-

1

t

=

t-1

t

＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x₀-x₁＞0，即x₀＞x₁．
同理可得：x₂＞x₀，
綜上述：x₁＜x₀＜x₂．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查圖象的公共點的證明，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．