若不等式|a-1|≥
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
對滿足x+y+z=1的一切正實數(shù)x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：根據(jù)柯西不等式進(jìn)行配湊，可得不等式的右邊小于或等于3
2
，從而得到|a-1|≥3
2
，再解關(guān)于a的不等式，即可得到實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：根據(jù)柯西不等式，有
(
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
)2=(1•
3x+1
+1•
3y+1
+1•
3z+1
)2
≤(12+12+12)[(
3x+1
)2+(
3y+1
)2+(
3z+1
)2]=3•[3(x+y+z)+3]=3×6=18

∴
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
≤3
2
．
又∵|a-1|≥
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
恒成立，
∴|a-1|≥3
2
，得a-1≥3
2
或a-1≤-3
2
，
即a≥3
2
+1或a≤1-3
2
，
所以a的取值范圍是(-∞，1-3
2
]∪[1+3
2
，+∞)．
點評：本題給出關(guān)于x的不等式恒成立，求參數(shù)a的取值范圍，著重考查了不等式恒成立問題的理解和運用柯西不等式求最值等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：
x=s+
1
s
y=s-
1
s
（s為參數(shù)）相交于A，B兩點，求線段AB的長．
（2）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實數(shù)x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實數(shù)x、y、z恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分
（1）二階矩陣M對應(yīng)的變換將向量
1
-1
，
-2
1
分別變換成向量
3
-2
，
-2
1
，直線l在M的變換下所得到的直線l′的方程是2x-y-1=0，求直線l的方程．
（2）過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：
x=s+
1
s
y=s-
1
s
（s為參數(shù)）相交于A，B兩點，求線段AB的長．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實數(shù)x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式|a-1|≥x+y+z，對滿足x2+y2+z2=1的一切實數(shù)x，y，z恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
a≥
3
+1或a≤-
3
+1
a≥
3
+1或a≤-
3
+1
．

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