Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x．
（1）求曲線y=f（x）在點x=2處的切線方程；
（2）若過點A（1，m）（m≠﹣2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3x2﹣3，f'（2）=9，f（2）=23﹣3×2=2

∴曲線y=f（x）在x=2處的切線方程為y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0

（2）解：過點A（1，m）向曲線y=f（x）作切線，設切點為（x0，y0）

則y0=x03﹣3x0，k=f'（x0）=3x02﹣3．

則切線方程為y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0）

將A（1，m）代入上式，整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵過點A（1，m）（m≠﹣2）可作曲線y=f（x）的三條切線

∴方程2x3﹣3x2+m+3=0（*）有三個不同實數根、

記g（x）=2x3﹣3x2+m+3，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1）、

令g'（x）=0，x=0或1

則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（﹣∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當x=0，g（x）有極大值m+3；x=1，g（x）有極小值m+2

由題意有，當且僅當 即 時，

函數g（x）有三個不同零點、

此時過點A可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是（﹣3，﹣2）

【解析】（1）先求導數f'（x）=3x2﹣3，欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．（2）先將過點A（1，m）（m≠﹣2）可作曲線y=f（x）的三條切線轉化為：方程2x3﹣3x2+m+3=0（*）有三個不同實數根，記g（x）=2x3﹣3x2+m+3，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），下面利用導數研究函數g（x）的零點，從而求得m的范圍．