Question

 

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F(xiàn)為棱BB₁的中點，M為線段AC₁的中點。

（1）求證：直線MF∥平面ABCD；

（2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

（3）求平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN。

因為F是BB₁的中點，所以F為C₁N的中點，B為CN的中點

又因為M是線段AC₁的中點，故MF∥AN

又∵M(jìn)F平面ABCD，AN平面ABCD

∴MF∥平面ABCD

（2）連接BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，可知：

A₁A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A₁A⊥BD

∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD

又∵AC∩A₁A=A，AC，A₁A平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁

在四邊形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，所以四邊形DANB為平行四邊形

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁

又∵NA平面AFC₁，∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁

（3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁

∵BD∥NA，∴AC₁⊥NA

又由BD⊥AC可知NA⊥AC

∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角

在Rt△C₁AC中，，故∠C₁AC＝30°

平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。

（說明：求對一個角即給滿分）