（本小題滿分13分）

已知數(shù)列｛｝中，對一切，點在直線y=x上，

(Ⅰ)令，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項（4分）；

(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式（4分）；

(Ⅲ)設的前n項和,是否存在常數(shù)，使得數(shù)列 為等差數(shù)列？若存在，試求出  若不存在,則說明理由（5分）.

 

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

（Ⅲ）當且僅當時，數(shù)列是等差數(shù)列  .

【解析】(I) 利用等比數(shù)列的定義,

從而證明是等比數(shù)列,其通項公式為.

(II)在（I）的基礎上可求出然后再采用疊加求通項的方法求an.

(III)可以先利用成等差數(shù)列求出=2，然后再利用等差數(shù)列的定義證明當=2時，為等差數(shù)列即可.

（Ⅰ）由已知得        

又    

是以為首項，以為公比的等比數(shù)列 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

       

    

將以上各式相加得：

（Ⅲ）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 

數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)

即

又

當且僅當，即時，數(shù)列為等差數(shù)列 

解法二： 存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 

由（I）、（II）知，

    

又

當且僅當時，數(shù)列是等差數(shù)列  .

 

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