Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD ＝12 BC. 點E、F分別是棱PB、邊CD的中點.（1）求證：AB⊥面PAD； （2）求證：EF∥面PAD

Answer 1

（1）要證明線面垂直，關(guān)鍵是要通過線線垂直的證明，結(jié)合判定定理來得到，關(guān)鍵點 一步是AD⊥AB.
（2）要證明線面平行，關(guān)鍵是要通過線線平行的證明，結(jié)合判定定理來得到，通過做適當?shù)妮o助線，結(jié)合三角形的中位線平移，得到EF∥DQ.

試題分析：證明：（1）因為PD⊥面ABCD，

所以PD⊥AB.                     2分
在平面ABCD中，D作DM//AB，則由AB=12得
DM=12.又BC=10，AD＝BC，則AD=5，從而CM=5.
于是在△CDM中，CD=13，DM=12，CM=5，則
由及勾股定理逆定理得DM⊥BC .
又DM//AB，BC//AD，所以AD⊥AB.
又PD∩AD＝D，所以AB⊥面PAD.                                    6分
（2）[證法一] 取AB的中點N，連結(jié)EN、FN.
因為點E是棱PB的中點，所以在△ABP中，EN//PA.
又PAÌ面PAD，所以EN//面PAD.                                    8分
因為點F分別是邊CD的中點，所以在梯形ABCD中，FN//AD.
又ADÌ面PAD，所以FN//面PAD.                                    10分
又EN∩FN＝N，PA∩DA＝A，所以面EFN//面PAD.                     12分
又EFÌ面EFN，則EF//面PAD.                                      14分
[證法二] 延長CD，BA交于點G.   
連接PG，EG，EG與PA交于點Q.
 
由題設(shè)AD∥BC，且AD＝ BC，所以CD＝DG，BA
＝AG，即點A為BG的中點.
又因為點E為棱PB的中點，所以EA為△BPG的中位線，即EA∥PG，且EA:PG＝1:2，故有EA:PG＝EQ:QG＝1:2.                        10分
又F是邊CD的中點，并由CD＝DG，則有FD:DG
＝1:2.                                                          12分
在△GFE中，由于EQ:QG＝1:2，FD:DG＝1:2，所以EF∥DQ. 
又EFË面PAD，而DQÌ面PAD，所以EF∥面PAD.                    14分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的結(jié)合線面平行和垂直的判定定理，找到線線的平行和垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。