Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=1，且AC⊥BC，過C₁作截面分別交AC，BC于E，F(xiàn)，且二面角C₁-EF-C為60°，則三棱錐C₁-EFC體積的最小值為（　�。�

• A．

  1

  3

• B．

  1

  9

• C．

  1

  6

• D．

  6

  18

Answer 1

分析：先根據(jù)二面角求出在三角形CEF斜邊EF邊上的高，設(shè)CE=a，CF=b，則EF=

a2+b2

，然后等面積建立等式，再利用基本不等式求出ab的最值，利用體積公式表示出三棱錐C₁-EFC體積，從而求出體積的最小值．

解答：解：∵二面角C₁-EF-C為60°
∴在三角形CEF斜邊EF邊上的高為

3

3

設(shè)CE=a，CF=b，則EF=

a2+b2

在三角形CEF中ab=

a2+b2

•

3

3

≥

2ab 3

∴ab≥

2

3

三棱錐C₁-EFC體積V=

1

3

× 

1

2

abCC1=

1

6

ab≥

1

9

故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查了二面角的應(yīng)用，以及錐體的體積和基本不等式求最值，屬于中檔題．