P為橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，A、B為圓O：x2+y2=b2上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB分別交x軸，y軸于M、N兩點(diǎn)且
PA
•
OA
=0，
PB
•
OB
=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若橢圓的準(zhǔn)線為y=±
25
3
，并且
a2
|
OM
|2
+
b2
|
ON
|2
=
25
16
，求橢圓C的方程．
（2）橢圓C上是否存在滿足
PA
•
PB
=0的點(diǎn)P？若存在，求出存在時(shí)a，b滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）直接根據(jù)條件求出PA與PB，進(jìn)而得到AB的方程，求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入
a2
|
OM
|2
+
b2
|
ON
|2
=
25
16
，可以得到關(guān)于a，b的等式；再結(jié)合橢圓的準(zhǔn)線為y=±
25
3
，即可求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓C的方程．
（2）先假設(shè)存在P（x0，y0）滿足要求，得到OBPA為正方形，即|OP|=
2
b，轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)P（x0，y0）的等式；再結(jié)合P（x0，y0）在橢圓上，即可求出點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)所滿足的等式，再通過(guò)討論即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）
易求得PA：x1x+y1y=b2，PB：x2x+y2y=b2，
則x1x0+y1y0=b2，x2x0+y2y0=b2
于是AB：x0x+y0y=b2（x0y0≠0），
可求得M(
b2
x0
，0)N(0，
b2
y0
)
a2
|
OM
|2
+
b2
|
ON
|2
=
a2
b4
x
2
0
+
b2
b4
y
2
0
=
a2
x
2
0
b4
+
b2
y
2
0
b4
=
a2
b2
(
x
2
0
b2
+
y
2
0
a2
)=
a2
b2
=
25
16

再由條件
a2
c
=
25
3
，以及a2-b2=c2易得a=5，b=4，
于是所求橢圓為
y2
25
+
x2
16
=1，
（2）設(shè)存在P（x0，y0）滿足要求，則當(dāng)且僅當(dāng)OBPA為正方形．
|OP|=
2
b，即x02+y02=2b2…（1），
又因?yàn)椋?span id="wa2iuga" class="MathJye">
y
2
0
a2
+
x
2
0
b2
=1(a＞b＞0)…(2)
解（1）（2）得
x
2
0
=
b2(a2-2b2)
a2-b2
，
y
2
0
=
b2a2
a2-b2

所以   （ⅰ）當(dāng)a＞
2
b＞0時(shí)，存在P（x0，y0）滿足要求；
（ⅱ）當(dāng)0＜b＜a＜
2
b時(shí)，不存在P（x0，y0）滿足要求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．圓與圓錐曲線同屬于幾何內(nèi)容，都可以用解析法研究（都是二次曲線）．所以要特別關(guān)注圓與圓錐曲線在一些題目中的交匯、綜合．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，橢圓上的點(diǎn)到上焦點(diǎn)F1的距離的最小值為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)1為焦點(diǎn)的拋物線上的點(diǎn)P（非原點(diǎn)）處的切線與x軸，y軸分別交于Q、R兩點(diǎn)，若
PQ
=λ
PR
，求λ的值．
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是上、下頂點(diǎn)）且滿足
A1A
•
A1B
=0，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形，直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足
OP
+
OA
+
OB
=
0
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷點(diǎn)P是否在橢圓C上，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2
2
．斜率為k（k≠0）的直線l過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求m的取值范圍．
（3）試用m表示△MPQ的面積S，并求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在x軸的兩端點(diǎn)分別為A，B，四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為4的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，3）作直線l交橢圓與M，N兩點(diǎn)，且
MP
=3
PN
，求直線l的方程．

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