Question

（2008•深圳一模）如圖是以正方形ABCD為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，且AB=AD=a，BF=DH=b．
（Ⅰ）證明：截面四邊形EFGH是菱形；
（Ⅱ）求三棱錐F-ABH的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明截面四邊形EFGH是平行四邊形，然后證明對角線互相垂直即可證明截面四邊形EFGH是菱形；
（Ⅱ）通過等體積法轉(zhuǎn)化為V_F-ABH=V_H-ABF，求三棱錐F-ABH的體積．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為平面ABEF∥平面CDHG，且平面EFGH分別交平面ABFE、
平面CDHG于直線EF、GH，所以EF∥GH．
同理，F(xiàn)G∥EH．
因此，四邊形EFGH為平行四邊形．（1分）
因為BD⊥AC，而AC為EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD．
因為BF=DH，所以FH∥BD．
因此，F(xiàn)H⊥EG．（2分）
由（1）、（2）可知：四邊形EFGH是菱形；
（Ⅱ）因為DA⊥平面ABFE，HD∥AE，所以H到平面ABF的距離為DA=a．
于是，由等體積法得所求體積VF-ABH=VH-ABF=

1

3

•S△ABF•DA=

1

3

×

1

2

ab×a=

1

6

a2b．

點評：本題是中檔題，考查直線與直線的垂直，四邊形是菱形的證明方法，體積的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．