Question

設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），

（1）證明：；

（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由；

（3）證明：（）．

 

Answer 1

試題分析：（1）構(gòu)造函數(shù)Φ（x）＝f（x）－g1（x），證明Φ（x）的最小值非負(fù)即可；（2）結(jié)合（1），利用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明f（x）＞gn（x）;（3）先證，再疊加，然后由（2）得即可.

試題解析：（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】（1）證明：設(shè)，所以

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020506013660146144/SYS201502050601449923910736_DA/SYS201502050601449923910736_DA.017.png">，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)均有 ．即，

所以 4分

（2）【解析】
當(dāng)時(shí)，．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)時(shí)，由（1）知.

②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，

令，，

因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，

由歸納假設(shè)知，．

即在上為增函數(shù)，亦即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020506013660146144/SYS201502050601449923910736_DA/SYS201502050601449923910736_DA.037.png">，所以．從而對(duì)任意，有．

即對(duì)任意，有．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有．由①、②知，當(dāng)時(shí)，都有．

（3）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，．

由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．再證對(duì)任意正整數(shù)，

．

要證明上式，只需證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．

即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立 10分

以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式

①當(dāng)時(shí)，成立，所以不等式（*）成立．

②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式（*）成立，即． 11分

則．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020506013660146144/SYS201502050601449923910736_DA/SYS201502050601449923910736_DA.056.png">

所以． 13分

這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，不等式（*）也成立．由①、②知對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．

綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，成立 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，不等式，數(shù)列求和