在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，—3）、N（5，1），若動點C滿足交于A、B兩點。
（I）求證：；
（2）在x軸上是否存在一點，使得過點P的直線l交拋物線于D、E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點。若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由。
（Ⅰ） 見解析  （Ⅱ）存在m=4
（I）解：由
知點C的軌跡是過M，N兩點的直線，故點C的軌跡方程是：

（II）解：假設(shè)存在于D、E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點。設(shè)
由題意，直線l的斜率不為零， 所以，可設(shè)直線l的方程為
代入 …………7分

10分

 
  

  此時，以DE為直徑的圓都過原點。 …………12
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，（1）求直線的方程（用表示）；
（2）若設(shè)，求證：；
（3）若，求拋物線方程．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的一條準線方程是其左、右頂點分別是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為3x－5y=0.
（Ⅰ）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（Ⅱ）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點P，連結(jié)AP交橢圓C1于點M，連結(jié)PB并延長交橢圓C1于點N，若. 求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：上的兩點A（0，）和點B，若以AB為邊作正△ABC，當(dāng)B變動時，計算△ABC的最大面積及其條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(12分)設(shè)直線與橢圓相切。 （I）試將用表示出來； （Ⅱ）若經(jīng)過動點可以向橢圓引兩條互相垂直的切線，為坐標原點，求證：為定值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1－, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．
（1）求橢圓方程；
（2）若，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在東西方向直線延伸的湖岸上有一港口O，一艘機艇以40km/h的速度從O港出發(fā)，先沿東偏北的某個方向直線前進到達A處，然后改向正北方向航行，總共航行30分鐘因機器出現(xiàn)故障而停在湖里的P處，由于營救人員不知該機艇的最初航向及何時改變的航向，故無法確定機艇停泊的準確位置，試劃定一個最佳的弓形營救區(qū)域（用圖形表示），并說明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=x2上存在兩個不同的點M、N,關(guān)于直線y=-kx+對稱,求k的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若橢圓的離心率是，則雙曲線的離心率是___________

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