【題目】在四棱錐中， 平面， 是的中點， ， ， .

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，則，先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明；進而可得，再由線面判定定理即可證明平面，從而可得；（2）建立空間坐標系，分別求出平面與平面的的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，即可求二面角的余弦值.

試題解析：（1）取的中點，連接，則.

因為，所以.

因為平面， 平面，所以又

所以平面

因為平面，所以；又，所以；

又因為, ，所以平面

因為平面，所以.

（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則， ， ， ， ，

， .

設(shè)平面的法向量為，則所以

令，所以.

由（1）知平面， 平面，所以.

同理，所以平面

所以平面的一個法向量.

所以，

由圖可知，二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設(shè)出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某正弦交流電的電壓v（單位V）隨時間t（單位：s）變化的函數(shù)關(guān)系是v=120 sin（100πt﹣ ），t∈[0，+∞）．
（1）求該正弦交流電電壓v的周期、頻率、振幅；
（2）若加在霓虹燈管兩端電壓大于84V時燈管才發(fā)光，求在半個周期內(nèi)霓虹燈管點亮的時間？（ 取 ≈1.4）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，兩圓內(nèi)切于點T，大圓的弦AB切小圓于點C.TA，TB與小圓分別相交于點E，F.FE的延長線交兩圓的公切線TP于點P.

求證：(1) ＝；

(2)AC·PF＝BC·PT.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間 上的最小值，并求使y=f（x）取得最小值時的x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知向量， ， ，且為銳角．

（1）求角的大�。�

（2）求函數(shù) ()的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)， 是橢圓上的兩點，橢圓的離心率為，短軸長為2，已知向量， ，且， 為坐標原點.

（1）若直線過橢圓的焦點，（ 為半焦距），求直線的斜率的值；

（2）試問： 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品.

（1）隨機選取1件產(chǎn)品，求能夠通過檢測的概率；

（2）隨機選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望..

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知命題p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命題q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0} （Ⅰ）若A∩B=，A∪B=R，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】通過隨機詢問110名性別不同的中學生是否愛好運動，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

總計

愛好

40

20

60

不愛好

20

30

50

總計

60

50

110

由K2= 得，K2= ≈7.8

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）
A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好運動與性別有關(guān)”
B.有99%以上的把握認為“愛好運動與性別有關(guān)”
C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好運動與性別無關(guān)”
D.有99%以上的把握認為“愛好運動與性別無關(guān)”

查看答案和解析>>

同步練習冊答案